De andra 27 staterna höll fast vid sitt eget manus och gav May till nästa ordinarie toppmöte om åtta veckor för att förbättra ett erbjudande som tjänstemännen uppskattar till cirka 20 miljarder euro om hon vill att de ska börja diskutera framtida handelsförbindelser. Missa den tidsfristen och, säger EU, tiden kommer att rinna ut för alla avtal.

I grund och botten måste de 27 lita på May att Storbritannien kommer att betala mycket mer än vad som står på bordet men förstår hennes svårigheter med att nämna en siffra i december, vilket kan väcka revolt på hemmaplan och spåra ur processen. I gengäld verkar de troligtvis släppa fler antydningar om vilken typ av framtida relation hon kan säkra.

EU:s ståndpunkt är "solid", sa Italiens premiärminister Paolo Gentiloni till reportrar efter samtalen, men också "flexibel".

Det var orealistiskt, sade han, att förvänta sig att May skulle sälja en exakt efterfrågan på pengar i december. Likaså kunde hon inte förvänta sig att EU skulle förhandla fram ett framtida handelsavtal utan att veta ungefär vilka utestående poster Storbritannien skulle betala för. Men att definiera dessa saker kunde, sa Gentiloni, göras "på det mest politiskt hanterbara sätt som är möjligt för våra brittiska vänner".

Även den grovaste av definitioner låter kommentatorer räkna ut siffror. Men som en senior diplomat från en annan EU-stormakt uttryckte det: ”Vi vill inte gå ut offentligt med en skallig figur. Om det är på förstasidan av The Sun är hela processen död.”

"Rapporterna om dödläget ... har överdrivits", avslutade toppmötesordförande Donald Tusk och tillade att diskussionerna med May äntligen hade lyckats "etablera förtroende och goodwill".

Tusk, en tidigare polsk premiärminister, upprepade EU:s mantra om enhet bland de 27 och full uppbackning av Europeiska kommissionens förhandlare Michel Barnier, vars team av tekniska experter hanterar samtalen med London. Men han erkände också en nyans i sin roll i att styra ledarnas politiska imperativ på hög nivå.

Det, sa Tusk, innebar att han skulle vara en "positiv motivator" under de kommande veckorna för att skapa "en mer positiv berättelse" än vad vissa brittiska politiker kallar EU:s "utpressning" kräver.

I angelägna om att inte förvärra Mays problem hemma, ansträngde sig andra ledare för att visa välvilja. Tysklands förbundskansler Angela Merkel och Frankrikes president Emmanuel Macron tar en hård linje när det gäller att "sekvensera" skilsmässosamtal före handel, men de kurrade sig med May i vänskapliga samtal för tv-kameror.

EU-kommunikén erkände framsteg i nyckelfrågor, som också omfattar utlandsrättigheter och den irländska gränsen, och instruerade Barnier att påbörja EU:s interna förberedelser för de samtal som May vill ha om en tvåårig övergångsperiod efter Brexit.

Tusk sa att EU:s förberedelser skulle "ta hänsyn till förslag som lagts fram" av "våra brittiska vänner" - en indikation på att May, även utan direkta samtal, skulle kunna visa sin inhemska publik en översikt över hur EU ser på framtida band.

Vissa var besvikna över att hon upprepade Storbritanniens förkastande av den rättsliga grunden för många av EU:s krav, särskilt att man betalar för EU:s åtaganden som varar efter 2020. Macron, för en, sa att de "inte ens var halvvägs" mot ett avtal om pengar.

Men andra upptäckte en mer positiv ton. Luxemburgs premiärminister Xavier Bettel sa att May hade antytt att Storbritannien åtminstone "analyserade" vilka andra delar av notan som de skulle kunna betala. Merkel sa att hon "inte tvivlade på" att ett bra avtal var möjligt.

Ändå finns det få illusioner om att Brexit-planen kommer att fungera smidigt. "Vi har alltid förutspått ett drama för hösten", sa en EU-diplomat. "Vi har inte sett det än. Så kanske november."

Storbritanniens skilsmässaräkning kommer att komma i det slutliga brexitavtalet: handelsminister