Utan ett avtal nästa månad kommer tiden att vara väldigt knapp för att komma överens om arrangemang innan Storbritannien lämnar EU i mars 2019, vilket ökar pressen på företag att undvika potentiella förluster och flytta investeringar.

En överenskommelse vid den nordirländska gränsen blev plötsligt svårare på fredagen då Dublins regering såg ut att falla.

Tusk sa att det fortfarande var möjligt att de andra 27 EU-ledarna skulle dra slutsatsen vid ett toppmöte den 14-15 december att Storbritannien hade gjort "tillräckliga framsteg" mot att uppfylla tre nyckelvillkor för att de ska godkänna öppnandet av handelsförhandlingar under det nya året.

Men, tillade den tidigare polske premiärministern som är ordförande för blockets toppmöten, det var "fortfarande en enorm utmaning".

EU-tjänstemän förväntar sig att kritan kommer när May återvänder måndagen den 4 december för att träffa EU:s verkställande direktör, EU-kommissionens ordförande Jean-Claude Juncker, och hans främsta brexitförhandlare Michel Barnier.

"Tusk presenterade tidslinjen...med den 4 december som den absoluta deadline för Storbritannien att göra ytterligare ansträngningar, vilket gör att Barnier kan rekommendera tillräckliga framsteg", sa en EU-tjänsteman. "May gick med på denna tidsram."

"Storbritannien kommer att behöva ge trovärdiga försäkringar om hur man undviker en hård gräns före den 4 december, eftersom det fortfarande är oklart hur detta kan göras", tillade tjänstemannen.

En ytterligare komplikation låg i Irland, där premiärminister Leo Varadkar, som har varnat för ett veto utan stora brittiska drag i gränsfrågan, kan utlysa ett snabbval nästa vecka i en separat fråga.

May berättade för reportrar efter att ha träffat Tusk att de två sidorna fortfarande gör framsteg mot att täppa till luckor i en ekonomisk uppgörelse, rättigheter för utlänningar efter Brexit och hur man undviker en "hård gräns" som kan störa freden i Nordirland.

Men hon tillade: "Det finns fortfarande problem i de olika frågor som vi förhandlar om att lösa."

Hon upprepade en linje som hon använde för första gången i september om att Storbritannien skulle "hela våra åtaganden". Men det fanns inga tecken på detaljer som EU-motparter kräver över betalningar innan de går med på Londons uppmaning till samtal om en handelspakt efter Brexit.

På den irländska gränsen sa May: "Vi och den irländska regeringen fortsätter att prata om lösningar för det. Vi har samma önskan. Vi vill säkerställa att förflyttning av människor och handel över den gränsen kan fortsätta som nu."

Nu kan Irland vara ett problem.

"Den irländska frågan är mycket oroande. Chanserna för tillräckliga framsteg i december var bara 50-50. Nu kanske mindre”, sa en tjänsteman som sköter brexitsamtalen från en av de andra 27 EU-staterna till Reuters vid sidan av fredagens toppmöte.

Barnier kastade unionens tyngd bakom Irland på fredagen och sa till den irländska utrikesministern Simon Coveney att det fanns "stark solidaritet för Irland" och "irländska frågor är EU-frågor".

Coveney, som anklagade regeringens motståndare för att vara oansvariga när de utropade en misstroendeförklaring på tisdagen i en orelaterade fråga, sa att Irland inte skulle gå med på att inleda EU-handelssamtal med Storbritannien om landet var olyckligt över gränsen.

Mays nordirländska, pro-Brexit-allierade, som hon är beroende av för en knapp parlamentarisk majoritet, anklagade Dublin för att försöka tvinga Nordirland, eller hela Storbritannien, att stanna i en tullunion med EU och beröva det frihet att fastställa sina egna kommersiella regler.

EU-tjänstemän säger att det bästa sättet att undvika en "hård gräns" är att hålla reglerna desamma - oavsett om det bara gäller Nordirland eller i hela Storbritannien. Storbritannien har förkastat det förra eftersom det skulle skilja Nordirland från det brittiska fastlandet. Brexitkampanjer säger att Storbritannien inte ska behöva följa EU:s regler.